¿Puedes resolver este problema matemático japonés?
Sangaku: radio del círculo más pequeño
Si el círculo exterior es un círculo unitario, encuentre el radio del círculo más pequeño.
¡Prueba este problema antes de lanzarte a buscar la solución!
Solución 1
Asumiremos que los 4 círculos medios tienen un radio de 1 en lugar del círculo más grande. Por lo tanto, el triángulo del diagrama tendría longitudes 2, 2, 2 + 2r.
Usando el teorema de Pitágoras, tenemos
Por lo tanto, la relación de los radios es
El radio del círculo más grande es la suma del diámetro del círculo mediano y el radio del círculo más pequeño. Podemos escribirlo como
Por lo tanto, la relación entre los 3 círculos es
Nos dan que el círculo más grande es el círculo unitario, tiene un radio de 1.
Ignorando el círculo medio, podemos dividir por (raíz cuadrada 2 + 1) y obtener
Esto significa que el radio del círculo más pequeño es
Solución 2
Sean a y b los radios pequeño y mediano respectivamente.
Las dos líneas azules tienen la misma longitud debido al principio de las tangentes iguales. La tercera línea azul tiene la misma longitud que las otras dos, ya que forma parte de un triángulo isósceles en la parte inferior izquierda del triángulo morado.
El ángulo en las líneas moradas dobles es de 22,5°. Usando trigonometría, tenemos
También sabemos que la suma del radio del círculo pequeño y el diámetro del círculo grande forma el radio del círculo grande, que es 1.
Por lo tanto
Resolviendo para a nos da
¡cuál es el radio del círculo más pequeño!
