Los matemáticos prueban la ley universal de la turbulencia

Se ha observado durante mucho tiempo que la mezcla de líquidos y otros sistemas turbulentos sigue una regla universal conocida como la ley de Batchelor. Los investigadores finalmente lo han demostrado matemáticamente.

Imagina un río tranquilo. Ahora imagina un torrente de agua blanca. ¿Cuál es la diferencia entre los dos? Para matemáticos y físicos es esto: el río suave fluye en una dirección, mientras que el torrente fluye en muchas direcciones diferentes a la vez.

Los sistemas físicos con este tipo de movimiento fortuito se denominan turbulentos. El hecho de que su movimiento se desarrolle de muchas maneras diferentes a la vez los hace difíciles de estudiar matemáticamente. Las generaciones de matemáticos probablemente irán y vendrán antes de que los investigadores puedan describir un río rugiente en afirmaciones matemáticas exactas.

Pero una nueva prueba encuentra que, si bien ciertos sistemas turbulentos parecen rebeldes, en realidad se ajustan a una ley universal simple. El trabajo es una de las descripciones más rigurosas de turbulencia que jamás haya surgido de las matemáticas. Y surge de un nuevo conjunto de métodos que están cambiando la forma en que los investigadores estudian este fenómeno hasta ahora indomable.

«Bien podría ser el enfoque más prometedor para la turbulencia», dijo Vladimir Sverak , matemático de la Universidad de Minnesota y experto en el estudio de la turbulencia.

El nuevo trabajo proporciona una forma de describir patrones en líquidos en movimiento. Estos patrones son evidentes en las rápidas variaciones de temperatura entre los puntos cercanos en el océano y la forma frenética y estilizada en que la pintura blanca y la negra se mezclan. En 1959, un matemático australiano llamado George Batchelor predijo que estos patrones siguen un orden exacto y reglamentado. La nueva prueba valida la verdad de la «ley de Batchelor», como se conoció la predicción.

«Vemos la ley de Batchelor por todas partes», dijo Jacob Bedrossian , matemático de la Universidad de Maryland, College Park y coautor de la prueba con Alex Blumenthal y Samuel Punshon-Smith . «Al probar esta ley, obtenemos una mejor comprensión de cuán universal es».

Turbulencia hasta el fondo

Si bien las aguas blancas de un río agitado no son el tipo exacto de turbulencia en cuestión en la nueva prueba, están estrechamente relacionadas y son más familiares. Por lo tanto, vale la pena pensar en ellos por un momento antes de pasar al tipo específico de turbulencia que los matemáticos analizaron.

Imagen de un fregadero de cocina lleno de agua. Abre el desagüe. El agua en el fregadero comenzará a girar casi como un solo cuerpo. Si se acerca al fluido y mide su velocidad a escalas más finas, aún observaría lo mismo: cada porción microscópica del fluido se mueve junto a las demás.

«El movimiento es predominantemente a la escala del sumidero», dijo Blumenthal, un becario postdoctoral también en la Universidad de Maryland, College Park.

Ahora imagine que en lugar de simplemente drenar el agua, desconectó el tapón al tiempo que agrega chorros de agua al fregadero, agitándolo como un jacuzzi. A simple vista, puede observar un puñado de diferentes vórtices que giran en el agua. Elija uno de los vórtices y amplíelo. Si usted fuera un matemático tratando de analizar el flujo del sumidero turbulento, podría esperar que cada partícula de agua dentro de ese vórtice elegido se moviera en la misma dirección. Esto facilitaría la tarea de modelar el fluido.

Pero, por desgracia, descubrirá que el vórtice está compuesto por muchos vórtices diferentes, cada uno moviéndose a su manera. Acérquese a uno de esos y verá que también está formado por muchos vórtices diferentes, y así sucesivamente, hasta que los efectos de la fricción interna (o viscosidad) dentro del fluido se hagan cargo y el flujo se suaviza

Este es un sello distintivo de los sistemas turbulentos: presentan comportamientos distintos anidados entre sí a diferentes escalas. Para describir completamente el movimiento de un sistema turbulento, necesita una imagen de lo que está sucediendo en todas estas escalas en cada momento en el tiempo. No puedes ignorar ninguno de ellos.

Es una tarea difícil, similar a modelar la trayectoria de las bolas de billar utilizando todo, desde el movimiento de la Tierra a través de la galaxia hasta las interacciones entre las moléculas de gas alrededor de las bolas.

«Tengo que tomar todo de una vez, que es lo que hace que sea increíblemente difícil de modelar», dijo Jean-Luc Thiffeault, de la Universidad de Wisconsin, que estudia la turbulencia.

Como resultado, los matemáticos han pasado décadas tratando de llegar a una descripción de la turbulencia que especifica exactamente lo que está sucediendo en cada punto de un sistema turbulento, en cada momento. No han tenido éxito.

«La turbulencia es demasiado difícil para que podamos hacer mucho al respecto directamente», dijo Thiffeault.

Eso es cierto para los ríos que corren y los sumideros de drenaje. También es cierto para la variante específica de turbulencia en la nueva prueba.

Mezclándolo

El sumidero y el río son ejemplos de turbulencia hidrodinámica. Son turbulentos en el sentido de que la velocidad del fluido, su velocidad y dirección, varía mucho de un punto a otro. El nuevo trabajo trata sobre otras propiedades además de la velocidad que puede medir en cada punto de un fluido. Para entender lo que eso significa, piense en mezclar pintura.

Comience con un recipiente de pintura blanca. Ahora agregue gotas de pintura negra, una por segundo, revolviendo a medida que avanza. La primera gota caerá en la pintura blanca y se destacará como una isla. Pero en poco tiempo, comenzará a mezclarse con la pintura blanca, alargándose en tendones cada vez más finos. Las siguientes gotas de pintura negra se realizarán en diferentes etapas de la misma transformación: estiramiento, alargamiento, incorporación al cuerpo canoso de la pintura.

La forma en que la pintura negra se mezcla con la blanca en esta simulación demuestra «turbulencia escalar pasiva». La ley de Batchelor describe cómo se comportan tales sistemas turbulentos.

De la misma manera que la velocidad varía de un punto a otro en el fregadero, la concentración de pintura negra variará de un punto a otro dentro de la pintura de mezcla: más concentrada en algunos lugares (tendones más gruesos) y menos en otros.

Esta variación es un ejemplo de «turbulencia escalar pasiva». Puede pensar en ello como lo que sucede cuando se mezcla un líquido, considerado el «escalar pasivo», en otro: leche en café, por ejemplo, o pintura negra en blanco.

La turbulencia escalar pasiva también caracteriza muchos fenómenos en el mundo natural, como las dramáticas variaciones de temperatura entre los puntos cercanos del océano. En ese ambiente, las corrientes oceánicas “mezclan” las temperaturas de la misma manera que la agitación mezcla la pintura negra con la blanca.

La ley de Batchelor es una predicción sobre la proporción de fenómenos a gran escala (gruesos zarcillos de pintura o gruesas bandas de agua oceánica a la misma temperatura) a fenómenos a escalas más pequeñas (zarcillos más delgados) cuando un fluido se mezcla con otro. Se conoce como una ley porque los físicos la han observado en experimentos durante años.

«Desde el punto de vista de la física, es lo suficientemente bueno como para llamarlo una ley», dijo Punshon-Smith, matemático de la Universidad de Brown. Pero antes de este trabajo no ha habido confirmación matemática de que se mantenga absolutamente.

Para tener una idea de lo que Batchelor tenía en mente, regrese a la pintura. Imagina que has ejecutado el proceso por un tiempo, agregando gotas de pintura negra mientras agitas. Ahora congele la imagen. Verá zarcillos gruesos de pintura negra (pintura que se agitó durante la menor cantidad de tiempo), junto con zarcillos más delgados (pintura que se agitó durante más tiempo) e incluso zarcillos más delgados (pintura que se agitó aún más).

La ley de Batchelor predice que el número de zarcillos gruesos, zarcillos más delgados y zarcillos más delgados se ajusta a una proporción exacta, similar a la forma en que las figuras anidadas que comprenden una muñeca rusa siguen una proporción exacta (en ese caso, una figura por escala de longitud).

«En un parche de líquido dado, veré franjas de diferentes escalas porque algunas gotas apenas han comenzado a mezclarse, mientras que otras se han estado mezclando durante un tiempo», dijo Blumenthal. «La ley de Batchelor le dice la distribución de los tamaños de esas franjas de pintura negra». La proporción exacta que predice es complicada de describir, pero los zarcillos más delgados serán más numerosos que los gruesos en una proporción exacta.

La ley predice que la proporción se mantiene incluso al acercar un parche de fluido. Verá exactamente la misma relación entre zarcillos de diferentes tamaños en la lata de pintura y en un pequeño parche de pintura; si amplía más, en un parche aún más pequeño, aún lo verá. El patrón se ve igual en todas las escalas, al igual que en la turbulencia hidrodinámica, donde cada vórtice contiene otros vórtices.

Es una predicción poderosa que también es muy difícil de modelar matemáticamente. La complicada anidación de fenómenos a diferentes escalas de longitud hace que sea imposible describir exactamente la aparición de la ley de Batchelor en un solo flujo de fluido.

Pero los autores del nuevo trabajo descubrieron cómo sortear esta dificultad y probar la ley de todos modos.

Un enfoque aleatorio

Bedrossian, Blumenthal y Punshon-Smith adoptaron un enfoque que considera el comportamiento promedio de los fluidos en todos los sistemas turbulentos. Los matemáticos habían intentado esta estrategia antes, pero nadie logró implementarla con éxito.

El enfoque funciona porque la aleatoriedad a veces facilita hacer predicciones precisas sobre el comportamiento de un sistema. Imagine un tablero de clavijas, como en un programa de juegos o arcade. Deje caer una moneda desde la parte superior y rebotará de una clavija a otra hasta que se asiente en una de las muchas ranuras en la parte inferior. Es difícil predecir exactamente dónde caerá una sola moneda: hay demasiados factores que influyen en la forma en que la moneda rebotará en cada clavija.

En cambio, puede tratar el sistema como aleatorio, reconociendo que en cada clavija, hay una posibilidad de que la moneda rebote hacia la izquierda y una posibilidad de que rebote hacia la derecha. Obtenga las probabilidades correctas y podrá hacer predicciones precisas sobre el comportamiento del sistema en su conjunto . Por ejemplo, puede encontrar que es mucho más probable que las monedas caigan en ciertas ranuras que otras.

«Lo bueno de la aleatoriedad es que puedes hacer cosas como promediar», dijo Thiffeault. «El promedio es una idea muy sólida en el sentido de que no le importan muchos de los detalles».

Entonces, ¿qué significa esto para la turbulencia y la mezcla de pintura? Debido a que las declaraciones exactas y deterministas están más allá del alcance de las matemáticas, es más útil imaginar que las fuerzas que actúan sobre la pintura ocurren al azar: a veces se agitan de esta manera, a veces se agitan de esa manera, sin un patrón subyacente a la agitación. Esto se conoce como el enfoque aleatorio o estocástico. Permite a los matemáticos adoptar una visión estadística de alto nivel y examinar lo que sucede en este tipo de sistemas en general, sin atascarse en los detalles de cada detalle.

«Un poco de aleatoriedad le permite eliminar las dificultades», dijo Punshon-Smith.

Y eso es lo que finalmente permitió a los tres matemáticos probar la ley de Batchelor.

Comprender la mezcla

Una forma de probar una ley física es pensar en las circunstancias que la anularían. Si puede probar que esas circunstancias nunca suceden, vuelve a demostrar que la ley siempre es válida. En este caso, el equipo se dio cuenta de que la agitación tendría que producir efectos muy específicos para evitar las rayas predichas por la ley de Batchelor.

Su prueba de la ley procede de cuatro documentos publicados en línea entre septiembre de 2018 y noviembre de 2019. Los primeros tres se centraron en comprender, y descartar, movimientos particulares en la pintura de mezcla que evitarían que la predicción de Batchelor se hiciera realidad. Probaron que incluso si tratas de inventar un fluido perfectamente diseñado para vencer la ley de Batchelor, el patrón aún surgiría.

«Lo principal a entender es que el fluido no puede conspirar contra usted», dijo Bedrossian.

Por ejemplo, la ley de Batchelor fallaría si el proceso de mezcla produjera vórtices permanentes, o remolinos, en la pintura. Esos remolinos atraparían un poco de pintura negra en un lugar, como escombros atrapados en un remolino al borde de un arroyo, y la pintura no se mezclaría.

“Dentro de un vórtice como ese, las trayectorias de las partículas no son caóticas; no se separan rápidamente, porque van juntos «, dijo Bedrossian. «Si su sistema no se está mezclando a la velocidad correcta, no obtendrá la ley de Batchelor».

En su primer artículo , los matemáticos se centraron en lo que sucede durante el proceso de mezcla en dos puntos de pintura negra que comienzan el proceso uno al lado del otro. Probaron que los puntos siguen caminos caóticos y salen en sus propias direcciones. En otras palabras, los puntos cercanos nunca pueden quedar atrapados en un vórtice que los mantendrá cerca para siempre.

«Las partículas se mueven juntas inicialmente», dijo Blumenthal, «pero eventualmente se separan y van en direcciones completamente diferentes».

En el segundo y tercer trabajo, analizaron más ampliamente el proceso de mezcla. Probaron que en un fluido caótico, en general, la pintura en blanco y negro se mezcla lo más rápido posible. Esto estableció además que el fluido turbulento no forma los tipos de imperfecciones locales (vórtices) que evitarían que la imagen global elegante descrita por la ley de Batchelor sea cierta.

En estos tres primeros artículos, los autores hicieron las matemáticas necesarias para demostrar que la pintura se mezcla de manera caótica. En el cuarto, demostraron que en un fluido con esas propiedades de mezcla, la ley de Batchelor sigue como consecuencia.

La prueba es una de las declaraciones matemáticamente rigurosas más fuertes jamás hechas sobre sistemas turbulentos. Quizás aún más importante, abre el camino para un nuevo flujo de conocimientos matemáticos. La turbulencia es un fenómeno caótico, casi aleatorio en su movimiento. Los tres matemáticos descubrieron cómo combatir la aleatoriedad con aleatoriedad. Otros en el campo seguramente seguirán su ejemplo.

«Su gran contribución es darnos un marco en el que ahora podemos probar las cosas», dijo Thiffeault. «Creo que la aleatoriedad es una de las pocas formas de hacer un modelo de turbulencia que matemáticamente podamos entender».

Entrada escrita por: quantamagazine

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