Como demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional
Las pruebas son la base de las matemáticas. Así es como sabemos que todas las reglas y teoremas que usamos son verdaderos. Sin el rigor lógico de las pruebas, las matemáticas serían un montón de suposiciones imprecisas. Las pruebas vienen en todas las formas y tamaños. Algunos son largos y arduos discernibles por muy pocos, otros se basan en una lógica tan fundamental que la mayoría de las personas podría reproducirlos con un poco de motivación.
Una de esas pruebas clásicas de la teoría y el análisis de números es demostrar que existen números irracionales, más comúnmente que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Ahora bien, hay muchas formas de probar este resultado, y ya he hablado de esto antes … pero eso fue antes de encontrarme con la prueba de Tennenbaum.
Una prueba de irracionalidad magníficamente inteligente pero sencilla. Usando una comprensión básica de la geometría, podemos demostrar lógicamente que la raíz cuadrada 2 es irracional. ¡Es una pequeña prueba bastante divertida!
Curiosamente, esta prueba se ha pasado por alto en gran medida históricamente. Quizás sea porque nuestro problema es un problema antiguo que se ha resuelto muchas veces, sin embargo, esta prueba no fue inventada hasta mediados del siglo XX por el matemático estadounidense Stanley Tennenbaum. La prueba se pasó por alto hasta la década de 1990, cuando un antiguo alumno de Tennenbaum la publicó en un libro sobre el poder de las matemáticas. Finalmente, la prueba comenzó a apreciarse por su belleza y sencillez. ¡Míralo o sigue leyendo!
Prueba
Al igual que la popular prueba de la raíz cuadrada dos, comenzamos con una prueba por contradicción asumiendo que la raíz cuadrada de dos es racional y, por lo tanto, puede escribirse como la razón de dos enteros positivos: p / q.
Luego, reorganizamos un poco para obtener el resultado de que p al cuadrado es igual a 2q al cuadrado.
Aquí es donde entra en juego un poco de amor por la geometría. En lugar de tomar una interpretación algebraica de nuestra declaración, la veremos geométricamente.
Entonces tenemos un cuadrado con longitudes de lados enteros positivos de p, cuya área es igual al área combinada de dos cuadrados q-por-q más pequeños que también tienen longitudes de lados enteros positivos.
En este punto, podemos suponer que nuestro cuadrado p-por-p es el cuadrado más pequeño que podemos hacer que sea igual a dos cuadrados q-por-q más pequeños con longitudes de lados enteros positivos.
A continuación, tomaremos nuestros cuadrados más pequeños y los colocaremos cuidadosamente dentro del cuadrado p-por-p más grande.
Esto da como resultado dos cosas:
- Tenemos un área cuadrada donde los dos cuadrados q por q se superponen.
- Tenemos dos regiones cuadradas más pequeñas donde los cuadrados q-por-q no cubren el cuadrado p-por-p más grande.
Debido a que el área de los dos cuadrados q por q es igual al área de los cuadrados p por p, el área de la superposición (1) debe ser igual al área de los cuadrados descubiertos (2).
Por último, para hacer nuestra contradicción, deducimos que el cuadrado superpuesto (1) y los cuadrados descubiertos (2) también tienen longitudes de lados enteros positivos ( explico esto con más detalle en el video de arriba ).
Por lo tanto, hemos encontrado nuestra contradicción porque afirmamos que el cuadrado p-por-p con el que comenzamos era el más pequeño que podíamos hacer de este tipo, sin embargo, hemos descubierto un cuadrado más pequeño (el cuadrado superpuesto) que también tiene longitudes de lados enteros y tiene un área igual a dos cuadrados más pequeños con longitudes de lados enteros positivos.
Por tanto, la raíz cuadrada de 2 debe ser irracional.
