Ecuaciones diferenciales

¿Qué son las ecuaciones diferenciales de todos modos?

En la escuela, o en la universidad, tenemos un problema e inmediatamente tratamos de resolverlo. Nunca nos detenemos a preguntarnos por qué estamos trabajando en un problema y cuáles son sus repercusiones en la vida real.

Hace que todo el proceso de aprendizaje de ecuaciones diferenciales (ED) sea intangible. No podemos responder a la pregunta de por qué los estamos aprendiendo. Y esto hace que estudiar sea más difícil.

Desde que comencé a estudiar mi doctorado, que comenzaré el primero de diciembre, pensé que era una buena idea escribir un blog sobre este tema y ver si lo había interiorizado correctamente.

Vayamos a la pregunta central aquí: ¿Qué son los DE de todos modos?

De manera similar a las ecuaciones algebraicas que describen un estado absoluto (por ejemplo, x = 3 ), las ED describen una tasa de cambio.

¿A qué nos referimos cuando hablamos de tasa de cambio?

Un ejemplo trivial sería la aceleración de un automóvil. En lugar de describir la posición exacta del automóvil, observamos el cambio de velocidad en cualquier momento. Entonces, en otras palabras, ponemos el tiempo y obtenemos la velocidad del auto. Con una entrada, hablamos de ED como ecuaciones diferenciales ordinarias . A su vez, donde hay múltiples, las llamamos Ecuaciones Diferenciales Parciales .

Si es ingeniero mecánico y ha incursionado en la termodinámica, sabrá sobre la transferencia de calor en los cuerpos sólidos. Todas las ecuaciones diferenciales que abordan este tipo de problemas se consideran parciales. Primero, tiene el cambio de temperatura con el tiempo, seguido de la posición en el cuerpo mismo. Si es un cuerpo tridimensional, tiene tres entradas adicionales. Además de esto, también tienes la temperatura inicial del propio cuerpo y del medio ambiente.

Si alguna vez tuvo que resolver uno de estos problemas, comprenderá que la solución a un DE es otra función.

Por cierto, es un punto fantástico para diferenciar entre una ecuación diferencial y una ecuación algebraica.

La solución de una ecuación diferencial es una función. La solución de una función algebraica es un valor único.

Ahora sabemos que las ED describen una tasa de cambio y pueden tener una o más entradas. Pero, ¿qué podemos esperar cuando trabajamos con DE? Como todo en la ciencia, debe tener un origen.

La palabra «diferencial» ya es una pista suficiente para nosotros porque las ED consisten en derivadas.

Supongamos que conocemos una ecuación que nos da la posición de un avión que vuela por el aire dependiendo del momento en que lo miremos. ¿Cuál sería la derivada de esta ecuación? Nos mostraría la velocidad momentánea.

¿Y qué hay de la derivada de esa ecuación? Si la primera derivada nos da la velocidad, la siguiente proporciona la aceleración.

¿Sabes lo que obtenemos de la siguiente derivada? Aunque a menudo se ignora, la tercera derivada tiene sentido.

¿Qué hemos hecho hasta la segunda derivada? Empezamos con el puesto:

1 1. Posición en metros en un momento dado: f (t) = m

Luego vino la velocidad en un momento dado:

  1. Velocidad en metros por segundo: f (t) = m / s

A continuación, obtuvimos la aceleración en un momento dado:

  1. Aceleración en metros por segundo al cuadrado: f (t) = (m / s) / s

Ahora obtenemos la tasa de cambio de la aceleración:

  1. Tasa de cambio de aceleración: f (t) = ((m / s) / s) / s -> f (t) = m / (s³)

Tiene sentido porque un automóvil no tiene que acelerar a una velocidad constante durante un período fijo.

En resumen, con ED, tenemos ecuaciones de derivadas. El objetivo al resolver una ED es encontrar la ecuación de cuya derivada es nuestra Ecuación diferencial.

¿Te suena la palabra «integrales»?

Con integrales, siempre buscamos una función cuya derivada sea nuestra función dada actualmente. En otras palabras, retrocederíamos la lista mencionada anteriormente.

Esa es toda la magia detrás de los DE. Sin embargo, como ocurre con todo en matemáticas, la dificultad varía enormemente. Y si alguna vez tuvo que resolver una ecuación diferencial en termodinámica, sabrá a qué me refiero

Escrito por: Más Allá de los Límites

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