Rompecabezas de las 2 arandelas

Una geometría sorprendente se esconde detrás de la solución.

Tienes dos arandelas circulares. Cada uno está hecho del mismo material; cada uno tiene el mismo grosor. Los orificios centrales de las dos arandelas tienen diferentes diámetros.

En cada arandela, se traza una línea recta de un borde a otro, por lo que solo toca el orificio central. Las dos líneas rectas tienen cada una la misma longitud (Figura 1 ) .

¿Qué lavadora pesa más?

A. El de la izquierda (agujero más grande)
B. El de la derecha (agujero más pequeño)
C. Ambos pesan lo mismo
D. No hay suficiente información

Soluciones

Este problema tiene dos enfoques: uno involucra a Pitágoras. El otro se basa en una verdad que tal vez no se te haya ocurrido repetidamente en la cabeza cuando estabas en la escuela secundaria.

Veamos ambas soluciones.

Pitágoras

Dibuja un triángulo rectángulo, como se muestra a continuación, siendo r y R los radios de los círculos interior y exterior, respectivamente. Sea x la media cuerda que une el círculo exterior al círculo interior (Figura 2 ) .

El área, A , del anillo es la diferencia entre las áreas de los círculos interior y exterior.

Ecuación 1

Usando Pitágoras, tenemos una expresión para  :

Ecuación 2

Combine las dos ecuaciones anteriores para el Área en términos de la longitud de la cuerda.

Ecuación 3

El área depende solo de la longitud de la cuerda. Dado que ambos acordes tienen la misma longitud, las áreas de los anillos interiores son idénticas.

Las arandelas tienen el mismo grosor y cubren la misma área. Como están hechos del mismo material, tienen el mismo peso.

Teorema de Mamikon

Haga girar el punto de tangencia sobre el centro del círculo interior. (Figura 3 , izquierda) . Mientras lo hace, la línea tangente gira alrededor del punto de tangencia. Como resultado, la línea barre un área, un anillo, alrededor del círculo interior.

¿Qué pasa si hacemos girar la línea sobre el punto de tangencia, pero mantenemos ese punto estacionario (Figura 3 , derecha) ? La línea barrerá un área, la misma área que antes. Esa área es independiente del tamaño del círculo interior. Depende solo de la longitud de la línea tangente.

Esta equivalencia de áreas es un ejemplo del teorema de Mamikon . Además, la curva interior no necesita ser un círculo para que las dos áreas sean iguales. Es un ejemplo de Mamikon Mnatsakanian ‘s cálculo visual .

¿Qué prueba prefieres?

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