Demostrar la fórmula de Euclides usando geometría básica

Las soluciones de números naturales (enteros positivos) de la ecuación x² + y² = z² se denominan Triples pitagóricas.

Ejemplo: x = 3, y = 4, z = 5 es un triple pitagórico que normalmente se escribe en forma corta (3, 4, 5).

Podemos obtener un triple pitagórico usando la fórmula de Euclides. Esto dice que (x, y, z) es una Triple Pitagórica si y solo si x = 2mn, y = m²-n² yz = m² + n², para algunos enteros myn donde m> n> 0.

Ejemplo: m = 5 yn = 1 generarán el Triple Pitágoras (10,24,26).

La parte ‘si’ se verifica fácilmente ya que x² + y² = (2mn) ² + (m²-n²) ² = (m² + n²) ² = z².

La parte del ‘solo si’ no es tan sencilla. En una anterior pieza , discutimos dos métodos para derivar la fórmula de Euclides.

En esta pieza, discutimos un tercer método que usa geometría donde miramos puntos en un círculo.

Fórmula de Euclides usando geometría básica

Si trazamos el gráfico x² + y² = 1, obtenemos el círculo unitario, es decir, un círculo con radio 1, cuyo origen está en (0,0):

Para no confundir la notación, suponga que ahora (a, b, c) es un triple pitagórico. Dado que a² + b² = c², tenemos (a / c) ² + (b / c) ² = 1.

Esto dice que el punto P = (a / c, b / c) se encuentra en el círculo unitario. P también debe estar en el cuadrante superior derecho porque, según la definición de los Triples pitagóricos, a, byc son números enteros positivos.

Considere también el punto Q = (0, -1) y la línea PQ, que pasa por los puntos P y Q. Podemos ver en el diagrama siguiente que debe intersecar con el eje x en el punto R = (k, 0).

Un ejercicio para el lector es mostrar k = a / (b + c) usando matemáticas básicas enseñadas en la escuela sobre ecuaciones de líneas rectas.

Esto significa que k es un número racional (un número que se puede expresar como una fracción, es decir, en la forma n / m donde n, m ≠ 0 son números enteros).

Establezca k = n / m. Dado que 0 <k <1, sigue m> n> 0.

Usando los puntos R = (n / m, 0) y Q = (0, -1), podemos escribir la ecuación de la línea QR (equivalente a la línea PQ) como y = (m / n) x-1.

Considere las dos ecuaciones:

  1. y=(m/n)x-1
  2. x²+y²=1

Si sustituimos la ecuación 1 en 2 obtendremos los puntos donde el círculo unitario se cruza con la línea QR.

Sabemos que será Q = (0, -1) y P = (a / c, b / c), pero lo que esto nos permite hacer es expresar a, byc en términos de n y m.

Aquí está x:

Sustituyendo nuestro valor para x nuevamente en la ecuación 1, obtenemos lo siguiente:

Como x = a / cy y = b / c, entonces tenemos a = 2mn, b = m²-n² y c = m² + n² donde m> n> 0.

La prueba ahora está completa.

Articulo escrito por: Sundip Tailor

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