La paradoja de los dos sobres
Estás jugando un juego por dinero. Hay dos sobres sobre una mesa.
Sabes que uno contiene el doble de dinero que el otro.
Inicialmente se le permite escoger uno de los sobres, abrirlo y ver que contiene $100. Entonces tiene una opción: irse con los $100 o devolver el sobre a la mesa y irse con lo que haya en el otro sobre. ¿Qué debes hacer?
El problema de los dos sobres, como su primo más conocido, el problema de Monty Hall, parece paradójico si no se tiene cuidado con el análisis.
A primera vista, no importa si cambias o no. Puede duplicar su dinero o reducirlo a la mitad.
Si continúas jugando, tu dinero debería promediar $ 100 por juego, ¿verdad?
Un razonamiento incorrecto podría sugerir que siempre es beneficioso cambiar. Generalmente, el valor esperado (cuando D es cuánto dinero hay en el primer sobre) se calcula como:
Esto significaría que, en promedio, esperamos ganar ¼D con el cambio. Esto es paradójico ya que dice “ No importa qué envolvente elijas inicialmente, siempre debes cambiar. ”
Por ejemplo, el valor esperado para la situación anterior sería
que es mayor que el valor esperado de quedarse, 100.
Entonces, obviamente, deberías cambiar, ¿verdad?
¿Qué pasaría si no abriera el sobre y, en cambio, tuviera la opción de cambiar antes de saber qué hay dentro? Una vez más, el valor esperado de elegir el segundo sobre es el 125 % de lo que hay en el sobre que tiene, por lo que tiene sentido matemático volver al primer sobre. Pero espera, ahora el segundo sobre tiene un valor esperado del 125 % de lo que hay en el primer sobre, por lo que definitivamente deberías volver a cambiar. ¿Ves el problema?
Obviamente, este razonamiento debe estar equivocado en alguna parte: ¡es imposible obtener un valor esperado infinito de dos sobres finitos! Pero como lo probé usando matemáticas, debe ser correcto, ¿verdad?
Para encontrar el problema, veamos nuevamente el cálculo del valor esperado. El problema es sutil y generalmente pasa desapercibido.
El malentendido es pequeño: las dos D representan cosas diferentes.
La cantidad de dinero en el segundo sobre es D/2 dado que tienes el más grande . Por otro lado, la cantidad de dinero del segundo sobre es 2D dado que tienes el más pequeño .
Piense en la situación de esta manera.
El valor total de todo el dinero en los sobres es 3D, con un sobre que contiene D y el otro que contiene 2D.
Podemos mapear todas las posibilidades para ayudar a entender esto mejor.
Al cambiar, tiene un 50% de posibilidades de ganar D o perder D, lo que hace que esta situación sea perfectamente simétrica.
Hay un 50 % de posibilidades de ganar D y un 50 % de posibilidades de perder D al cambiar porque, como era de esperar, no hay ningún beneficio en cambiar.
Otra forma, quizás más intuitiva, de entender la resolución es considerando la cantidad total de dinero en el juego, T, que es fija independientemente del sobre que elijas. Pero ahora la cantidad en tu sobre dado que es el más grande está bien definida, ⅔T. Y la cantidad que hay en tu sobre dado que es el más pequeño es ⅓T. Su retorno esperado de cambiar sería
El rendimiento esperado de cambiar es 0, lo que demuestra que no hay beneficio ni pérdida al cambiar su sobre, independientemente de si sabe lo que hay dentro o no. Mirando la lógica de la situación, esto se verifica. No tiene idea de si tiene o no el sobre más pequeño o más grande, por lo que elegir cambiar con la esperanza de ganar dinero es como disparar en la oscuridad.
Cambiar no te ayuda, pero tampoco te hace daño, que es probablemente lo que sabías hasta que te involucraste con las matemáticas.
Una forma de probar esto es simular el problema una gran cantidad de veces y observar el porcentaje de veces en las que el cambio resultó en un aumento del valor.
La paradoja de los dos sobres es un problema que destaca cómo, mientras que las matemáticas a menudo se presentan como la única verdad, los pequeños errores pueden conducir a grandes suposiciones incorrectas. El álgebra básica juega con nuestro sentido común, engañándonos haciéndonos creer que cambiar le hará ganar más.
En el caso de la paradoja de los dos sobres, sin importar lo que decidas hacer, siempre tenías razón.
